相对论对水星“诡异行为”的解释,让爱因斯坦站上了物理学的巅峰

英国理论物理学家保罗·狄拉克,量子力学的奠基人之一,曾写道:

将牛顿万有引力理论及其力的瞬时传播与狭义相对论的要求相调和是有困难的,而爱因斯坦致力于解决这一困难导致了对他相对论的诞生——这可能是有史以来最伟大的科学发现。

广义相对论被普遍认为是一种异常美丽的理论。多年来的几次试验证实了这一理论的正确性。我将描述其中一个测试,它正确地解释了水星近日点的“异常”进动,这是牛顿的万有引力理论未能预测到的。

  • 图1:图中为水星近日点进动。

01牛顿理论的问题

近日点(离太阳最近的行星轨道上的一点)的进动有多种原因。其中两个是:

  • 其他行星的存在引起彼此轨道的扰动,这是主要原因
  • 太阳的扁率(见图)明显不相关
  • 图2:该图显示了一个压缩成扁椭球的球体。

水星进动的近日点速率与牛顿引力理论的预测不一致。法国天文学家和数学家勒维耶发现了这一异常现象。1882年,由西蒙·纽科姆进行的最后一次测量估计,实际进动率与牛顿的预测相差43度。提出了许多特别的解决办法,但没有一个奏效。

正如下一节在广义相对论中讨论的那样,这种额外的进动完全可以用爱因斯坦的广义相对论来解释。

02用广义相对论计算水星近日点进动

史瓦西解是爱因斯坦场方程的解,该场方程描述了围绕太阳的真空时空的几何形状。换句话说,史瓦西度规是由太阳产生的时空曲率引起的太阳系度规。但是需要作以下的假设

  1. 把太阳当作一个不旋转的物体。
  2. 忽略来自太阳系其他行星的引力场。

史瓦西解有以下线元:

  • 方程1:史瓦西解的线元,它描述了围绕太阳的真空时空的几何结构。

参数R = 2M称为史瓦西半径。坐标r,θ,φ是球面坐标,如图3中所示。

  • 图3:球坐标。

根据度规的各项同性,我们总是有θ=π/ 2。事实上,根据两体问题(在我们的例子中,两体是太阳和行星),一个受中心力支配的物体的运动总是在一个平面上。图4和图5显示了两种类型的轨道双体系统。约束在平面上的运动在牛顿引力理论和爱因斯坦引力理论中都是有效的。因此,在我们的分析中,只考虑平面上的测地线就足够了。

  • 图4:两颗质量相同的星体围绕着两颗星体外部的一个共同的重心(例如双星)运行。
  • 图5:两个质量不同的物体围绕一个共同的重心旋转。

这个分析的有效性的第三个条件是,径向坐标r必须比太阳的半径大得多。这不是一个问题,因为太阳的史瓦西半径比太阳的半径小得多。更具体地说,是太阳的史瓦西半径大约2.95×10 m^3m,而太阳的半径接近6.96×10^8m。

  • 图6:德国物理学家和天文学家卡尔·施瓦茨希尔德

给定时空中的对称性与粒子和光子在其中运动的守恒量有关。由于史瓦西解的度规g既与时间无关又与球对称,所以大质量粒子的能量和光子的能量都是守恒的。我们可以从数学上理解这点。

在度规为g的时空中,自由下落的物质粒子或光子遵循与该时空相关的测地线方程(将“直线”推广到弯曲时空),该方程表示为:

  • 方程2:由自由下落的物质粒子或光子服从的测地线方程。

注意,由于还将考虑光子,测地线方程也可表示为:

  • 方程3:测地线方程的另一种形式。

现在请注意:

  • 方程4:恒定度规的组件在时间和协调ϕ。

​方程3和4暗示:

然后我们做出以下定义:

  • 方程6:一个大质量粒子的单位质量能量和光子的能量。

​符号~被使用在大质量粒子的能量上,表示这个能量是单位质量。由于角动量是守恒的,我们定义:

  • 方程7:一个大质量粒子的单位质量角动量和光子的角动量。

​左边的项是每单位质量粒子的角动量,右边的项是光子的角动量。我们现在需要轨道方程。大质量粒子动量的三个分量为:

  • 方程8:大质量粒子的三个动量分量

​光子的动量为:

  • 方程:光子动量的三个分量。

现在我们用刚导出的动量分量,把它们代入方程|p|=-m²,对于粒子和光子,然后求解dr/dλ,得到:

  • 方程10:dr/ dλ的平方

​现在直觉告诉我们用有效势重写这些方程,即

  • 方程11:质量粒子和光子的有效势的定义。

​电势图如图7所示。注意,由于两个方程的左边都是正的,所以有效势能一定小于能量。图7显示了大质量和无质量粒子的有效势。图中还表明dr/ dλ= 0的转折点,禁止区域(E

  • 图7:大质量和无质量粒子(光子)的有效势。图中显示了转折点、禁区和圆形轨道,它们都是稳定的(极小值)和不稳定的(极大值)。

03水星近日点的岁差

从现在开始,让我们只考虑大质量物体的运动,因为我们的目标是计算水星近日点的进动。

稳定的圆轨道出现在有效势的最小值处。设M是太阳的质量。微分有效势,将结果设为零,求解r,得到稳定圆轨道半径:


  • 方程12:一个绕太阳振荡的大质量粒子稳定圆形轨道的半径。

​在牛顿力学中,一个完整的圆形轨道的行星轨道返回其初始φ。现在使用圆形轨道的事实有E^2= V^2,使用到目前为止得到的表达式,我们得到了一颗行星所需要的时间Δφ=2π也就是周期P:

  • 方程13:行星绕太阳旋转周期的牛顿结果
  • 图8:该图显示了一个测试粒子遵循牛顿万有引力定律或爱因斯坦方程的轨道之间的差异。

在广义相对论中,一个旋转的行星不会回到它的初始点。如果相对论效应很小,我们应该有一个椭圆,它绕着它的中心慢慢旋转。我们所能做的就是研究轨道近日点的运动。为此,我们执行三个快速计算:

  • 推导出的表达式dφ/ dλ角动量
  • 推导出的表达式dt / dλ每单位质量的能量
  • 定义新变量u≡1/r

代入方程10得到:

  • 方程14:相对论对du / dφ表达式

​我们现在定义y,圆度的偏差如下:

  • 方程15:变量y的定义,圆度的偏差。

​对于牛顿轨道,y=0。为了得到相对论表达式,我们把方程 15代入方程14,我们得到了近似圆形轨道的方程:

  • 方程16:相对论对dy / dφ表达式

​解为:

  • 方程17:方程16的解

B取决于初始条件。根据余弦的论点,我们得出结论,当Δ(kφ)=2π 时,轨道返回相同的半径。k不同于1 的存在是它与牛顿结果的不同之处!如果相对论效应很小,我们可以得出一些其他简单的近似值:

​特别是水星,我们可以得到每年0.43”的位移,正如文章开头所提到的,这是通过实验确定的值。

似乎连爱因斯坦都被这个结果惊呆了。找到计算结果后,他几天都不能工作。用他自己的话来说,他变得“欣喜若狂”。

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